近世代数

基本概念

集合、映射、变换

代数运算、运算律

同态与同构

等价关系与集合分类

群

群的定义与基本性质

循环群

变换群

置换群

陪集指数与Largrange定理

群同态基本定理与正规子群

性质

正规子群

1. 证明：指数为2的子群必是正规子群

​证明思路：
​要证明一个子群 H 是正规子群，需要证明对于群 G 中任意元素 g，都有 gH=Hg。对于指数为2的子群，我们可以利用陪集的性质来证明。
​证明过程：
​设 G 是一个群，H 是 G 的一个子群，且 ∣G:H∣=2。
​这意味着 H 在 G 中只有两个不同的左陪集和两个不同的右陪集。
​其中一个左陪集是 H 本身（即 eH=H），另一个左陪集是 G 中不属于 H 的任意元素 a 所生成的 aH。
​所以，G=H∪aH。
​同样地，右陪集也有两个：一个右陪集是 H 本身（即 He=H），另一个右陪集是 a 所生成的 Ha。

​所以，G=H∪Ha。

​现在我们来证明对于 G 中任意元素 g，都有 gH=Hg。

• ​情况1： g∈H。

  ​如果 g∈H，那么 gH=H 且 Hg=H。所以 gH=Hg 成立。

• ​情况2： g∈/H。

  ​如果 g∈/H，那么 g 属于 H 的另一个左陪集，即 gH。

  ​由于 G=H∪aH，且左陪集要么相等要么不相交，所以 gH 必须等于 aH。
  ​即 gH=aH。

  ​同样地，如果 g∈/H，那么 g 属于 H 的另一个右陪集，即 Hg。

  ​由于 G=H∪Ha，所以 Hg 必须等于 Ha。

  ​即 Hg=Ha。

  ​现在我们来证明 aH 和 Ha 相等。

  ​因为 G 由 H 和另一个陪集组成，所以 G∖H=aH=Ha。

  ​所以 gH=aH=G∖H 和 Hg=Ha=G∖H。

  ​因此，gH=Hg。
  ​综上所述，对于 G 中任意元素 g，都有 gH=Hg。

​所以，指数为2的子群必是正规子群。

2. 证明：若群 G 的 n 阶子群只有一个，则此子群必为 G 的正规子群

​证明思路：
​这个证明需要利用共轭子群的概念。如果一个子群经过共轭运算后仍然是它自己，那么它就是正规子群。
​证明过程：
​设 G 是一个群，H 是 G 中唯一的 n 阶子群。
​我们需要证明 H 是一个正规子群，即对于 G 中任意元素 g，都有 gHg−1=H。
​首先，我们考虑由 H 通过共轭运算得到的集合 gHg−1={ghg−1∣h∈H}。
​我们来证明这个集合 gHg−1 也是一个子群。
​单位元：e=geg−1∈gHg−1，因为 e∈H。所以 gHg−1 包含单位元。
​封闭性：对于任意两个元素 a=gh1g−1 和 b=gh2g−1，它们的乘积是 ab=(gh1g−1)(gh2g−1)=g(h1h2)g−1。因为 h1,h2∈H，所以 h1h2∈H。因此，ab∈gHg−1。
​逆元：对于任意元素 a=ghg−1，其逆元是 a−1=(ghg−1)−1=(g−1)−1h−1g−1=gh−1g−1。因为 h−1∈H，所以 a−1∈gHg−1。

​所以，gHg−1 是群 G 的一个子群。
​接下来，我们来计算它的阶数。
​考虑映射 ϕ:H→gHg−1，定义为 ϕ(h)=ghg−1。
​这个映射是一个同构：

• ​它是单射：如果 ϕ(h1)=ϕ(h2)，那么 gh1g−1=gh2g−1。左乘 g−1，右乘 g，得到 h1=h2。所以它是单射。
• ​它是满射：对于 gHg−1 中任意元素 x，存在 h∈H 使得 x=ghg−1，所以它是满射。
  ​因此，ϕ 是一个双射，所以 ∣gHg−1∣=∣H∣=n。
  ​现在我们有两个重要的结论：

1. ​gHg−1 是 G 的一个子群。
2. ​gHg−1 的阶数为 n。

​根据题设，群 G 中唯一的 n 阶子群是 H。
​因此，这个新生成的 n 阶子群 gHg−1 必须就是 H 本身。
​所以，gHg−1=H。
​由于这个结论对于 G 中任意元素 g 都成立，所以 H 是一个正规子群。
​所以，若群 G 的 n 阶子群只有一个，则此子群必为 G 的正规子群。

群同态基本定理

群同态与同构

同构定理

自同构

环与域

环

域